高考数学中怎样运用导数法求解函数的极值问题？

核心方法：不同题型的解题路径

导数法——通用性最强的工具
对于连续可导函数，极值点通常出现在导数为零或导数不存在的点，解题步骤：
- 求导：明确函数定义域，计算一阶导数 ( f'(x) )；
- 找临界点：解方程 ( f'(x) = 0 )，并检查定义域内导数不存在的点（如分段函数分段点）；
- 验证极值：用二阶导数判断（( f''(x) > 0 ) 为极小值，( f''(x) < 0 ) 为极大值）或左右导数符号变化法（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。
例题（2022年全国乙卷）：
函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 )，求极值。
解析：
- 一阶导 ( f'(x) = 3x^2 - 6x )，解得临界点 ( x=0 ) 或 ( x=2 )；
- 二阶导 ( f''(x) = 6x - 6 )，代入得 ( f''(0) = -6 < 0 )（极大值），( f''(2) = 6 > 0 )（极小值）；
- 极值分别为 ( f(0)=2 )（极大），( f(2)= -2 )（极小）。
二次函数极值——快速口算技巧
形如 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 的二次函数，其极值点可直接通过顶点公式 ( x = -\frac{b}{2a} ) 得出，若开口向上（( a>0 )）为最小值，反之为最大值。

例题（2023年新课标Ⅰ卷）：
求函数 ( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 ) 的极大值。
解析：

极值点 ( x = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1 )，代入得 ( f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 )。
不等式法——特殊题型的捷径
对非多项式函数（如含根号、分式），可尝试利用均值不等式（AM-GM）、柯西不等式或换元法简化计算。

例题：
求 ( f(x) = x + \frac{4}{x} )（( x > 0 )）的极小值。
解析：

由均值不等式 ( x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4 )，当且仅当 ( x = \frac{4}{x} ) 即 ( x=2 ) 时取等。
闭区间极值——勿忘端点比较 限定区间（如 ( x \in [a,b] )），极值可能出现在端点或临界点，需计算 ( f(a) )、( f(b) ) 及临界点处的函数值并比较。

例题（2021年浙江卷）：
求 ( f(x) = e^x \sin x ) 在 ( [0, \pi] ) 上的最大值。
解析：
- 求导 ( f'(x) = e^x (\sin x + \cos x) )，令 ( f'(x)=0 ) 得 ( \sin x + \cos x = 0 )，即 ( x = \frac{3\pi}{4} )；
- 计算 ( f(0)=0 )，( f(\frac{3\pi}{4}) = e^{\frac{3\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} )，( f(\pi)=0 )；
- 最大值为 ( f(\frac{3\pi}{4}) )。